Teoria de Markowitz: O que é e como calcular a relação entre risco e retorno

A Teoria de Markowitz é uma excelente ferramenta para ajudar investidores a tomarem decisões mais estratégicas ao equilibrar risco e retorno na carteira.

Desenvolvida na década de 1950, essa abordagem matemática permite a construção de portfólios mais eficientes, maximizando o retorno esperado para um determinado nível de risco.

Neste artigo, você vai entender o que é a Teoria de Markowitz, como ela funciona e como calcular a relação entre risco e retorno, otimizando seus investimentos de forma inteligente.

Boa leitura!

Quem foi Markowitz

Harry Max Markowitz foi um economista estadunidense que nasceu em 1927, em Chicago. Ele foi o criador de uma das mais importantes teorias utilizadas no mercado, o Modelo de Markowitz, ou também conhecido como a Teoria do Moderna do Portfólio.

Markowitz percebeu que o Modelo do Valor Presente de John Burr Williams, que era o mais utilizado até então, não contemplava a análise de impacto de risco nas carteiras, e por esse motivo criou a sua própria teoria.

A primeira publicação do modelo aconteceu em 1952, no Journal of Finance, lhe rendendo 2 prêmios muito importantes alguns anos depois, o John Von Neumann Theory Prize em 1989, e o Prêmio Nobel de Ciências Econômicas em 1990.

O que é a Teoria de Markowitz

A teoria de Markowitz consiste em um modelo de cálculo de risco, que tem como principal objetivo definir otimizar a relação entre risco e retorno, ou seja, definir qual a melhor combinação de ativos que oferecem o maior retorno esperado para uma carteira de investimentos, para um determino nível de risco.

Em palavras mais simples, o modelo irá considerar a correlação dos ativos que compõem a carteira e os seus retornos, então determinar qual a melhor rentabilidade possível em relação ao risco assumido.

Para compreender melhor o conceito, é preciso entender o funcionamento do modelo.

Como funciona a Teoria de Markowitz

Como mencionado, a teoria busca estabelecer qual o melhor retorno esperado possível para determinado nível de risco. E faz isso por meio do cálculo de risco e retorno de cada ativo que compõe a carteira.

Na prática o retorno da carteira é calculado, por meio da fórmula da média ponderada simplificada, que assusta no primeiro contato, mas que rapidamente você entenderá.

Rp = W a x R a + W b x R b

Sendo que:

Rp = Retorno ponderado

Wa = Peso do ativo A (Peso em inglês significa Weight)

Ra = Retorno do Ativo A

Wb = Peso do ativo B

Rb = Retorno do Ativo B

Quando falamos em retorno ponderado significa que existirá um ponderador para que se obtenha o resultado desejado, que nesse caso são os pesos de cada ativo na carteira. Lembre-se que somados devem sempre ser ter um total de 100%.

Para ficar ainda mais claro, vamos utilizar um exemplo:

Imagine que uma carteira hipotética de investimentos possui os seguintes ativos, em pesos e retornos:

Ativo Peso Retorno

A 30% 14%

B 40% 9%

C 15% 11%

D 15% 12%

100%

Dessa forma, basta que os valores sejam colocados na fórmula para que tenhamos o retorno dessa carteira hipotética, ficando assim:

Rp = (30% x 14%) + (40% x 9%) + (15% x 11%) + (15% x 12%)

Rp = 11,25%

Já para mensurar o risco, não é tão simples assim, isso porque trata-se de uma função complexa das variâncias e correlações dos ativos presentes na carteira.

A título de trazer sempre informações e conhecimentos muito completos, colocarei aqui a fórmula, junto com um exemplo do cálculo de risco de uma carteira, no entanto para entender o conceito da Teoria de Markowitz não é necessário que você domine os cálculos.

Antes de entender a fórmula é preciso estar ciente que o risco é entendido como o desvio padrão do ativo, uma medida de dispersão utilizada em Estatística. Dito isso, a fórmula para mensurar o risco de uma carteira é a seguinte:

σ p = √wa² x σa² + wb² x σb² + 2 x wa x wb x σa x σb x p(a,b)

Sendo que:

σp = Desvio padrão ponderado

Wa²= Peso do ativo A ao quadrado

σa² = Desvio padrão do ativo A ao quadrado

Wb²= Peso do ativo B ao quadrado

σb² = Desvio padrão do ativo B ao quadrado

Wa= Peso do ativo A

Wb= Peso do ativo B

σa = Desvio padrão do ativo A ao quadrado

σb = Desvio padrão do ativo B ao quadrado

p(a,b) = Correlação entre ativo A e B

Parece difícil, não é? Mas vamos simplificar isso com um bom exemplo:

Imagine uma carteira de investimentos com dois ativos, X e Y, com pesos de 40% e 60%. A volatilidade dos ativos foi de 10% e 8%, respectivamente. Além disso, os ativos apresentam correlação de 0,45. Qual o risco esperado dessa carteira?

Para efetuar o cálculo basta substituir as letras da fórmula pelos valores correspondentes analisados na carteira. No entanto, sugiro que você dividida o cálculo em partes, para ficar ainda mais fácil.

σp = √ (0,40² x 0,10²) + (0,60² x 0,08²) + (2 x 0,40 x 0,60 x 0,10 x 0,08 x 0,45)

Viu como ficou muito mais simples do que parecia? Agora é só calcular passo a passo:

σp = √ (0,16 x 0,01) + (0,36 x 0,0064) + (2 x 0,40 x 0,60 x 0,10 x 0,08 x 0,45)

σp = √ 0,0016 + 0,0023 + 0,0017

σp = √ 0,0056

Agora basta extrair a raiz quadrada:

σp = 0,074

Em seguida para transformar em porcentagem, multiplique por 100:

σp = 7,4%

Isso significa que o risco esperado para essa carteira de investimento é de 7,4%.

Agora, é importante saber que os valores encontrados por meio desses cálculos irão gerar um gráfico, onde o eixo Y é o retorno e o eixo X, o risco.

É por meio desse gráfico que será possível fazer uma análise aprofundada da melhor composição de ativos para a otimização de risco e retorno. Isso é possível porque a Teoria de Markowitz leva em consideração que a performance individual dos ativos não é tão relevante quando o retorno geral da carteira, uma vez que ativos que possuem correlação negativa podem diminuir bastante o risco da carteira como um todo, mesmo entregando retornos parecidos.

Falaremos mais sobre esse gráfico e sua interpretação a seguir.

Os princípios da Teoria de Markowitz

Os principais fundamentos da Teoria de Markowitz, ou Teoria Moderna do Portfólio são:

Retorno esperado: O retorno que um investidor espera receber por seu investimento em determinado ativo.

Risco: Também representado pela volatilidade do mercado, o risco representa em sua essência a incerteza sobre o retorno futuro.

Correlação: Representa a interdependência entre duas variáveis, em nosso caso, entre dois ativos. Algo que é de extrema importância para entender o movimento da carteira em relação ao mercado.

Fronteira eficiente: É o conceito central da Teoria de Markowitz e representa o conjunto das melhores combinações possíveis de retorno e risco, permitindo que seja possível analisar qual o maior retorno para determinado nível de risco.

E é sobre esse fundamento essencial que vamos falar agora.

Fronteira eficiente

O conceito de Fronteira Eficiente é muito simples, trata-se da linha onde estão os melhores ativos, aqueles que possuem retorno compatível com o nível de risco que oferecem.

Vamos deixar isso ainda mais simplificado, a partir da análise de risco-retorno dos ativos que compõe a carteira é possível observar quais as melhores combinações para tornar a carteira mais eficiente.

Por exemplo:

Imagine que de lado você possui um ativo com risco zero, como o Tesouro Selic que hoje paga 13,25%, e de outro lado possui uma Ação com risco de moderado a alto, porém que tem um histórico de retorno de 18%.

Se você investir 100% do seu dinheiro em Tesouro Selic terá risco zero na carteira, mas seu retorno será quase 5% menor do que se investisse na Ação.

Da mesma forma, se investir 100% na Ação terá um retorno maior, mas com isso seu risco também aumentará consideravelmente.

Qual a melhor distribuição de capital entre os dois ativos então para que você possa ter o maior retorno possível com o menor risco? É aí que entra a fronteira eficiente, entendeu?

A Fronteira Eficiente é a linha em um gráfico que marca os pontos onde estão as melhores combinações de ativos na relação risco e retorno, em outras palavras, delimita onde está otimizada essa relação.

Abaixo está a construção de uma fronteira eficiente com carteiras hipotéticas:

Cada um dos pontos na linha da Fronteira Eficiente representa uma carteira considerada eficiente, ou seja, não existe outra combinação para dado retorno e nível de risco que seja superior a observada.

Dessa forma, qualquer carteira que esteja abaixo da Fronteira Eficiente é considerada “inferior” a que está situada na fronteira, isso porque oferece um retorno menor para o mesmo nível de risco assumido

É importante ressaltar também que é impossível existir carteira acima da Fronteira Eficiente, uma vez que a fronteira é o limite máximo que se pode obter de retorno para determinado nível de risco.

O gráfico da Fronteira Eficiente é também chamado de “Bullet” (Projétil em inglês), isso porque sua aparência se assemelha muito ao projétil de armas de fogo.

Fronteira Eficiente e CML (Capital Market Line)

Com a ampliação do modelo de Markowitz e da descoberta da Fronteira Eficiente surgiu a Linha do Mercado de Capitais, também conhecida como CML, que é uma reta no gráfico que leva em consideração um ativo livre de risco.

Funciona assim, a partir do ativo livre de risco, chamado de Risk Free, deve se traçar uma reta com inclinação positiva, isso porque a medida em que se aumenta o risco, o retorno também deverá subir.

Agora, muita atenção a essa parte, pois é importante! O ponto onde a Fronteira Eficiente toca a CML, é onde está situada a carteira de mercado, ou seja, uma carteira 100% em ativos do mercado.

Dessa forma o modelo de Markowitz leva em consideração que a escolha da carteira ótima deve estar em algum ponto da CML, ou seja, possuir parte em ativos livre de risco e parte em ativos do mercado.

Além disso a carteira também deve estar alinhada ao perfil de investidor de cada um, uma vez que também deve contemplar os objetivos financeiros do investidor.

Quais as vantagens da Teoria de Markowitz

A grande vantagem da Teoria de Markowitz é a possibilidade da otimização da carteira de investimentos, que por meio da análise de dois dos pontos mais importantes do mercado, o risco e o retorno, compõe a carteira com a melhor combinação possível de ativos.

Além disso possibilitada mitigar o risco por meio da diversificação, construir carteiras personalizadas de acordo com o perfil e objetivos de cada investidor, e comparar diversas carteiras.

Limitações da Teoria de Markowitz

Assim como todo modelo de avaliação de ativos, a Teoria de Markowitz também tem suas limitações, uma vez que considera que os retornos serão distribuídos de maneira uniforme e que a correlação entre os ativos será sempre a mesma ao longo do tempo.

Caio Maillis

Eu sei bem como é sentir que está sempre correndo atrás, tentando fazer as coisas darem certo sem ver obter o retorno que merece, pois já tentei de tudo: fui ajudante geral, ajudante de mecânico, cantor de música sertaneja, vendi camisetas, revendi panelas… mas em tudo, falhei. É engraçado como no momento da derrota, nos sentimos como um fracasso, como se não fossemos bons e inteligentes o suficiente, ainda bem que é temporário. Hoje vejo que foi como havia de ser, cada tentativa me trouxe um aprendizado diferente. E me fez perceber algo que muda o jogo de qualquer um, percebi que não era a falta de esforço que me impedia de crescer, e sim a falta de conhecimento. É verdade que o segredo do sucesso mora na habilidade de agir, mas ação por si só, sem o conhecimento necessário (o que algumas pessoas chamam de Know-How), também é insuficiente. Foi aí que decidi mudar de verdade, transformei minha curiosidade por finanças e investimentos em um propósito. Me graduei em Gestão Financeira, fiz vários cursos sobre o tema, ao passo que continuava empreendendo em outra área, comecei a me aprofundar ainda mais no mundo dos investimentos. Foi nesse momento que comecei a cursar Ciências Econômicas, um MBA em Finanças, Investimentos e Banking e a devorar livros e conteúdos técnicos sobre análise de ações e outros ativos de renda variável. Mas a minha jornada não é só sobre mim. Eu não quero apenas ser referência no assunto, eu quero que você também consiga mudar a sua vida, mesmo que não seu objetivo não se especializar na área, como eu fiz e ainda faço. Quero ajudar pessoas que trabalham duro, mas ainda não colhem os frutos desse esforço, a construírem um futuro financeiro sólido, seguro e, acima de tudo, que proporcione a liberdade de escolha, que essa sim, é a mais valiosa de todas as coisas. Em meus canais de comunicação, eu vou te ensinar análise fundamentalista de verdade, sem atalhos, sem promessas vazias. Meu compromisso é mostrar como você pode investir com inteligência, clareza e estratégia, sem depender de ninguém e sem cair em armadilhas que vão fazer você perder dinheiro. Falando nisso, se você quer parar de trabalhar por dinheiro e começar a fazer o dinheiro trabalhar por você, lembre-se que eu estou aqui!